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Unione degli insiemi

L'unione di due insiemi \( A \) e \( B \) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono a \( A \) o a \( B \) o a entrambi. In altre parole, l'unione include tutti gli elementi di \( A \) e \( B \), senza ripetizioni. Viene indicata con il simbolo \( A \cup B \)

$$ A \cup B = \{ x : x \in A \text{ ∨ } x \in B \} $$

Dove il simbolo "∨" è utilizzato in logica proposizionale e rappresenta la disgiunzione logica inclusiva, anche conosciuta come "or" logico, che è vera se almeno una delle proposizioni coinvolte è vera.

Esempio

Vediamo un esempio pratico.

Siano dati i seguenti insiemi:

$$  A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 3, 4, 5, 6 \} $$

Per trovare l'unione \( A \cup B \), dobbiamo combinare tutti gli elementi di \( A \) e \( B \).

Guardiamo gli insiemi, si capisce subito che l'unione di questi due insiemi include tutti gli elementi di \( A \) e \( B \), ma senza ripetizioni.

l'unione di due insiemi

Questo vuol dire che gli elementi che sono presenti in entrambi gli insiemi vanno contati una sola volta.

\[ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \cup \{3, 4, 5, 6 \} \]

In questo caso gli elementi presenti in entrambi gli insiemi sono i numeri 3 e 4.

Quindi, l'unione \( A \cup B \) è:

\[ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \]

Questo significa che l'unione dei due insiemi \( A \) e \( B \) contiene tutti i numeri che sono presenti in \( A \) o in \( B \) contandoli una sola volta.

Le proprietà dell'unione

Tra le proprietà più importanti da ricordare c'è che l'unione è un'operazione commutativa. Formalmente, possiamo scrivere:

$$ A \cup B = B \cup A $$

Questo significa che l'ordine degli insiemi non influisce sul risultato dell'unione.

Esempio. Immaginiamo due insiemi:\[ A = \{1, 2, 3\} \] \[ B = \{3, 4, 5\} \]L'unione di \(A\) e \(B\) è:\[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]E l'unione di \(B\) e \(A\) è:\[ B \cup A = \{3, 4, 5, 1, 2, 3\} \]Notiamo che entrambi i risultati sono uguali anche se l'ordine degli elementi può essere diverso, gli insiemi sono identici perché l'ordine degli elementi in un insieme non conta:\[ A \cup B = B \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]

Le proprietà dell'unione:

  • Commutativa: $$ A \cup B = B \cup A $$
  • Associativa: $$ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $$
  • Idempotente: $$ A \cup A = A $$
  • Elemento neutro: $$ A \cup \emptyset = A $$
  • Dominanza: $$ A \cup U = U $$
  • Altre proprietà: $$ A ∪ A^c = U $$

Dove \( U \) è l'insieme universale mentre \( \emptyset \) è l'insieme vuoto.

Teoria degli insiemi