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Il prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano è l'insieme di tutte le coppie ordinate che si possono formare prendendo un elemento dal primo insieme e un elemento dal secondo insieme.

Formalmente, se A e B sono due insiemi, il prodotto cartesiano A × B è definito come

$$ A × B = \{ (a, b) \ | \ a ∈ A \ e \ b ∈ B \ \} $$

Se abbiamo due insiemi A e B, il prodotto cartesiano A×B è l'insieme di tutte le coppie possibili (a,b) dove il primo elemento della coppia appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B.

Esempio. Vediamo un esempio numerico per chiarire il concetto. Supponiamo di avere due insiemi: $$ A = {1, 2} $$ $$ B = {3, 4} $$ Il prodotto cartesiano A × B è l'insieme di tutte le coppie ordinate che si possono formare prendendo un elemento da A e un elemento da B. Quindi, A × B sarà: $$ A × B = \{ (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) \} $$ In pratica, stiamo combinando ogni numero dell'insieme A con ogni numero dell'insieme B.

Possiamo estendere il concetto di prodotto cartesiano a più insiemi.

$$ A × B × C = \{ (a, b, c) \ | \ a ∈ A \ , \ b ∈ B \ c ∈ C \ \} $$

Formalmente, dati $n$ insiemi $A_1, A_2, \ldots, A_n$, il prodotto cartesiano $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ è definito come:

\[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) \mid a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n \} \]

Ogni elemento del prodotto cartesiano è una n-pla ordinata (a₁,a₂,...,a_n).

Esempio. Consideriamo tre insiemi: $ A = \{1, 2\} $ $ B = \{3, 4\} $ $ C = \{5, 6\} $ Il prodotto cartesiano $ A \times B \times C $ è l'insieme di tutte le terne ordinate che si possono formare prendendo un elemento da ciascun insieme. \[ A \times B \times C = \{ (a, b, c) \mid a \in A, b \in B, c \in C \} \] Sostituendo con gli elementi specifici degli insiemi $ A $, $ B $ e $ C $, otteniamo: \[ A \times B \times C = \{ (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6) \} \] Quindi, ogni elemento del prodotto cartesiano $ A \times B \times C $ è una terna dove il primo elemento proviene da $ A $, il secondo da $ B $ e il terzo da $ C $.

Teoria degli insiemi