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Intersezione degli insiemi

L'intersezione di due insiemi è l'insieme di tutti gli elementi che sono presenti in entrambi gli insiemi. In altre parole, è l'insieme degli elementi comuni a entrambi. Viene indicata con il simbolo \( A \cap B \)

$$ A \cap B = \{ x : x \in A \text{ ∧ } x \in B \} $$

Dove il simbolo "∧" è utilizzato in logica proposizionale e rappresenta la congiunzione logica, anche conosciuta come "and" logico, che è vera se entrambe le proposizioni coinvolte sono vere.

Esempio

Vediamo un esempio numerico.

Supponiamo di avere i seguenti insiemi:

$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 3, 4, 5, 6 \} $$

Per trovare l'intersezione \( A \cap B \), dobbiamo identificare i numeri che sono presenti in entrambi gli insiemi \( A \) e \( B \).

i diagrammi di Eulero Venn

Guardando gli insiemi A e B, gli elementi comuni a entrambi gli insiemi sono \( 3 \) e \( 4 \).

$$ A = \{ 1, 2, \color{red}3, \color{red}4 \} $$

$$ B = \{ \color{red}3, \color{red}4, 5, 6 \} $$

Quindi, l'intersezione \( A \cap B \) è:

$$ A \cap B = \{ 3, 4 \} $$

Questo significa che \( 3 \) e \( 4 \) sono i numeri che si trovano sia nell'insieme \( A \) sia nell'insieme \( B \).

Le proprietà dell'intersezione

Tra le proprietà fondamentali dell'intersezione bisogna ricordare che è commutativa.

$$ A \cap B = B \cap A $$

Questo vuol dire che modificando l'ordine degli insiemi, il risultato finale dell'intersezione non cambia.

Esempio. Consideriamo due insiemi:\[ A = \{1, 2, 3, 4\} \] \[ B = \{3, 4, 5\} \]L'intersezione di \(A\) e \(B\) è:\[ A \cap B = \{3, 4 \} \]E l'intersezione di \(B\) e \(A\) è:\[ B \cap A = \{3, 4\} \] Entrambi i risultati sono uguali anche se l'ordine degli elementi potrebbe essere diverso nel risultato finale ma negli insiemi l'ordine degli elementi non conta:\[ A \cap B = B \cap A = \{3, 4 \} \]

Proprietà dell'intersezione:

  • Commutativa: $$ A \cap B = B \cap A $$
  • Associativa: $$ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $$
  • Idempotente: $$ A \cap A = A $$
  • Elemento neutro: $$ A \cap U = A $$
  • Dominanza: $$ A \cap \emptyset = \emptyset $$
  • Altre proprietà: $$ A ∩ A^c = ∅ $$

Dove \( U \) è l'insieme universale mentre \( \emptyset \) è l'insieme vuoto.

 

Teoria degli insiemi