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Differenza simmetrica tra insiemi

La differenza simmetrica di due insiemi \(A\) e \(B\) è l'insieme degli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi, ma non a entrambi. $$ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$

Dove:

  • \( A \setminus B \) è la differenza tra \( A \) e \( B \), cioè l'insieme degli elementi che appartengono ad \( A \) ma non a \( B \).
  • \( B \setminus A \) è la differenza tra \( B \) e \( A \), cioè l'insieme degli elementi che appartengono a \( B \) ma non a \( A \).

In altre parole, la differenza simmetrica è l'unione delle differenze relative tra i due insiemi.

la differenza simmetrica

Esempio

Consideriamo due insiemi:

$$  A = \{1, 2, 3\} $$

$$ B = \{3, 4, 5\} $$

Calcoliamo la differenza simmetrica \( A \Delta B \) ovvero gli elementi in \( A \) ma non in \( B \)

$$ A \setminus B = \{1, 2\} $$

Poi calcoliamo la differenza di \( B \) e \( A \) ovvero gli elementi in \( B \) ma non in \( A \)

$$ B \setminus A = \{4, 5\} $$

L'unione delle due differenze è la differenza simmetrica tra gli insiemi:

$$ A \Delta B = \{1, 2\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 4, 5\} $$

Quindi, la differenza simmetrica di \( A \) e \( B \) è l'insieme \(\{1, 2, 4, 5\}\).

esempio con i diagrammi di Venn

Le proprietà della differenza simmetrica

  1. Commutatività: \[ A \Delta B = B \Delta A \] Questo significa che l'ordine degli insiemi non importa nella differenza simmetrica.
  2. Associatività: \[ A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C \] Questo permette di raggruppare gli insiemi in modo diverso senza cambiare il risultato.
  3. Identità: \[ A \Delta \emptyset = A \] La differenza simmetrica di un insieme con l'insieme vuoto è l'insieme stesso.
  4. Proprietà dell'insieme complementare: \[ A \Delta A = \emptyset \] La differenza simmetrica di un insieme con se stesso è l'insieme vuoto.

 

Teoria degli insiemi