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Insieme universo o universale

L'insieme universo (o universale) è un insieme di riferimento che contiene tutti gli oggetti di interesse in un dato contesto. Tutti gli altri insiemi che consideriamo sono sottoinsiemi di questo insieme universale.

E' generalmente definito come un insieme che contiene tutti gli elementi rilevanti per una particolare discussione o problema.

Nella teoria degli insiemi l'insieme universo non va confuso con l'insieme di tutti gli insiemi. Quest'ultimo non è tipicamente considerato come insieme universale a causa dei paradossi logici che potrebbero sorgere, come il paradosso di Russell.

La scelta dell'insieme universo cambia in base al contesto e contiene tutti gli elementi di interesse.

Da questa scelta derivano i complementi dei sottoinsiemi, che sono insiemi definiti rispetto a questo insieme universo e cambiano se cambia quest'ultimo.

Ad esempio, supponiamo di avere tre insiemi di numeri:

$$ A = \{1, 2, 3\} $$

$$ B = \{3, 4, 5\} $$

$$ C = \{5, 6, 7\} $$

Se specifichiamo un insieme univero, possiamo definire chiaramente i complementi.

Supponiamo che il nostro insieme universale sia

$$ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$

In questo modo possiamo affermare che il complemento di $ A $ è composto da tutti gli elementi di $ U $ che non sono in $ A $.

$$ A' = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4, 5, 6, 7\} $$

Il complemento di di $ B $ da tutti gli elementi di $ U $ che non sono in $ B $.

$$ B' = U \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 6, 7\} $$

Infine, il complemento di $ C $ da tutti gli elementi di $ U $ che non sono in $ C $.

$$ C' = U \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{5, 6, 7\} = \{1, 2, 3, 4\} $$

Cosa accade se l'insieme universo non è specificato?

Se non specifichiamo l'insieme universo, non possiamo determinare con precisione i complementi degli insiemi $ A $, $ B $ e $ C $ perché non sappiamo quali sono tutti gli elementi possibili. In pratica, non sappiamo da quali elementi dobbiamo escludere quelli di $ A $, $ B $ e $ C $.

Ad esempio, senza l'insieme universale non possiamo stabilire il complemento di $ A $ perché non conosciamo l'insieme completo di riferimento. Potrebbe essere qualsiasi insieme che contiene $ 1, 2, 3 $, come $ \{1, 2, 3, 8, 9\} $ o $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $ o l'intero insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $.

Nel caso degli insiemi numerici se non specifichiamo l'insieme universale potrebbero esserci diverse interpretazioni:

- Insieme dei numeri naturali ($ \mathbb{N} $): $ \{1, 2, 3, \ldots\} $
- Insieme degli interi ($ \mathbb{Z} $): $ \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} $
- Insieme dei reali ($ \mathbb{R} $): Tutti i numeri reali.

Tuttavia, senza un insieme universo esplicitamente specificato, i complementi non possono essere determinati in modo univoco.

In conclusione, l'insieme universo fornisce il contesto necessario per definire i complementi e considerare tutti i possibili elementi di interesse.

Teoria degli insiemi