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Complemento di un insieme

L'insieme complemento di un insieme $ A $ rispetto a un insieme universale $ U $ è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono a $ U $ ma non appartengono a $ A $.

\[ A' = \{ x \in U \mid x \notin A \} \]

Si indica con il simbolo $ A' $ , $ A^c $ oppure $ \overline{A} $.

Il complemento è correlato alla negazione logica ed è il risultato della differenza tra insiemi $ A' = U - A $.

esempio di complemento di un insieme

I diagrammi di Venn sono utili per visualizzare il complemento di un insieme.

Generalmente in un diagramma di Venn, l'insieme universale $ U $ è rappresentato da un rettangolo, e il complemento di un insieme $ A $ è rappresentato dalla parte del rettangolo che non è occupata dal cerchio che rappresenta $ A $.

In altre parole, la parte esterna al cerchio, quella di colore grigio nella figura precedente, ma ancora all'interno del rettangolo rappresenta il complemento di $ A $.

Esempio

Supponiamo che l'insieme universale sia:

\[ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \]

e che l'insieme $ A $ sia:

\[ A = \{ 1, 2, 3 \} \]

Il complemento di $ A $ rispetto a $ U $ è l'insieme degli elementi in $ U $ che non sono in $ A $:

\[ A' = \{ 4, 5 \} \]

esempio dell'insieme complemento

Le proprietà del complemento

Queste sono le principali regole e proprietà del complemento di un insieme

Legge di De Morgan
Per due insiemi $ A $ e $ B $: \[ (A \cup B)' = A' \cap B' \] \[ (A \cap B)' = A' \cup B' \]
Complemento del complemento
Il complemento del complemento di un insieme è l'insieme stesso: \[ (A')' = A \]
Complemento dell'universale:
Il complemento dell'insieme universale è l'insieme vuoto: \[ U' = \varnothing \]
Complemento dell'insieme vuoto:
Il complemento dell'insieme vuoto è l'insieme universale:
\[ \varnothing' = U \]

Teoria degli insiemi