Sottoinsiemi impropri
Un sottoinsieme improprio di un insieme S è un sottoinsieme che è esattamente uguale a S stesso oppure un insieme vuoto.
In termini formali, diciamo che A è un sottoinsieme improprio di S se A = S ovvero se è un insieme uguale.
$$ A = S $$
Per fare un esempio, prendiamo l'insieme T = {a, b, c}. Qui, T stesso è un sottoinsieme improprio di T. Cioè, T ⊆ T, e sì, questa è una tautologia matematica.
Un altro sottoinsieme improprio è l'insieme vuoto (o insieme nullo).
Un sottoinsieme proprio A di un insieme B deve soddisfare la condizione che tutti gli elementi di A siano elementi di B.
Poiché l'insieme vuoto non contiene elementi, questa condizione non è soddisfatta per qualsiasi insieme.
Tuttavia, su questo punto non tutti i testi di matematica concordano poiché dipende da quali definizioni matematiche si scelgono. In alcuni testi l'insieme vuoto è considerato un insieme proprio di tutti gli insiemi mentre in altri è considerato un insieme improprio.
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