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Differenza tra insiemi

La differenza tra due insiemi, indicata come $ A - B $, rappresenta l'insieme degli elementi che appartengono ad $ A $ ma non a $ B $.

\[ A - B = \{ x : x \in A \text{ e } x \notin B \} \]

In altre parole, è l'insieme degli elementi che sono in $ A $ e che non sono in $ B $.

Immagina due cerchi che rappresentano due insiemi $ A $ e $ B $ in un diagramma di Venn, l'area solo di $ A $ ma non in $ B $ rappresenta $ A - B $.

la differenza tra due insiemi

In altre parole, la differenza $ A - B $ è l'area di $ A $ che non è condivisa con $ B $.

Esempio

Supponiamo di avere i seguenti insiemi:

$$ A = \{1, 2, 3, 4\} $$

$$ B = \{3, 4, 5, 6\} $$

La differenza $ A - B $ sarebbe:

$$ A - B = \{1, 2\} $$

la differenza A-B

perché gli elementi 1 e 2 sono in $ A $ ma non in $ B $.

Allo stesso modo, la differenza $ B - A $ sarebbe:

$$ B - A = \{5, 6\} $$

perché gli elementi 5 e 6 sono in $ B $ ma non in $ A $.

la differenza B-A

Già da questo esempio si comprende che la differenza tra insiemi non è un'operazione commutativa.

Le proprietà importanti della differenza degli insiemi sono le seguenti:

Complementarietà: Se consideriamo l'insieme universale $ U $ che contiene tutti gli elementi, la differenza tra $ U $ e un insieme $ A $ è il complemento di $ A $: \[ U - A = A^c \]
Inclusione: Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ (cioè, $ A \subseteq B $), allora $ A - B = \emptyset $ (l'insieme vuoto), perché non ci sono elementi in $ A $ che non siano anche in $ B $.
Simmetria: In generale, $ A - B $ non è uguale a $ B - A $ a meno che $ A = B $.

Altre proprietà della differenza:

Teoria degli insiemi