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Sottoinsiemi

Un sottoinsieme è un insieme che contiene gli elementi dell'insieme di partenza. Formalmente, se \( A \) e \( B \) sono insiemi, diciamo che \( A \) è un sottoinsieme di \( B \) se ogni elemento di \( A \) è anche un elemento di \( B \)

$$ A \subseteq B $$

Per esempio, consideriamo l'insieme

$$ B = \{1, 2, 3, 4\} $$

Alcuni sottoinsiemi di \( B \) sono \( \{1, 2\} \), \( \{3\} \), e persino \( \{\} \) (l'insieme vuoto), che è sottoinsieme di ogni insieme.

esempio di sottoinsieme proprio

    Tipi di sottoinsiemi

    Esistono principalmente due tipi di sottoinsiemi: il sottoinsieme proprio e il sottoinsieme improprio.

    • Sottoinsieme proprio
      Un sottoinsieme \( A \) di un insieme \( B \) si considera "proprio" se contiene alcuni degli elementi di \( B \) ma non tutti. Formalmente, \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \) se \( A \subseteq B \) e \( A \neq B \).

      Ad esempio, se \( B = \{1, 2, 3\} \), allora \( \{1, 2\} \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), dato che non include tutti gli elementi di \( B \).

    • Sottoinsieme improprio
      Questo tipo include due casi speciali: l'insieme stesso e l'insieme vuoto. Per ogni insieme \( B \), l'insieme \( B \) è un sottoinsieme di se stesso (chiamato anche sottoinsieme improprio) e l'insieme vuoto \( \{\} \) è anch'esso un sottoinsieme improprio di \( B \).

      Ad esempio, se \( B = \{1, 2, 3\} \), allora l'insieme totale \( \{1, 2, 3\} \) e l'insieme vuoto \( \{ \} \) sono i sottoinsiemi impropri di \( B \).

    In pratica, la distinzione tra sottoinsieme proprio e improprio è utile per chiarire se stiamo includendo tutti gli elementi originali, nessuno o solo una loro parte.

    Quando si parla di sottoinsiemi, bisogna assicurarsi specificare se si intende la versione "propria" o "impropria".

    Va specificato che in alcuni libri di matematica l'insieme vuoto è considerato un sottoinsieme proprio di un insieme e non un sottoinsieme improprio. Questo dipende dalla definizione di "sottoinsieme proprio" che viene adottata dall'autore del libro. In generale, nella maggior parte dei casi solo l'insieme totale viene considerato sottoinsieme improprio.

    Teoria degli insiemi