Divisione tra frazioni
La divisione tra frazioni segue la seguente regola
$$ \frac{a}{b} \ : \ \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Una frazione a termini frazionari è sempre trasformabile in una frazione semplice
Dimostrazione. Per la proprietà invariantiva una frazione non cambia quando si moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso numero d/c. $$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
La divisione tra un numero intero e una frazione si riconduce a una divisione tra frazioni
$$ a \ : \ \frac{c}{d} = \frac{a}{1} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{1}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{1} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{c} $$
$$ \frac{a}{b} \ : \ c = \frac{a}{b} : \frac{c}{1} = = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c} $$
Esempi
Calcolare la divisione tra le frazioni 2/3 e 4/5
$$ \frac{2}{3} \ : \ \frac{4}{5} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$
Calcolare la divisione tra 3 e 4/5
$$ 3 : \frac{4}{5} = \frac{3}{1} \ : \ \frac{4}{5} = \frac{\frac{3}{1}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{15}{4} $$
Calcolare la divisione tra 3/4 e 5/7
$$ \frac{3}{4} \ : \ \frac{5}{7} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} $$
Altri appunti sulle frazioni