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La funzione di produzione con due fattori

Un processo produttivo che utilizza due fattori come input puoi rappresentarlo con una funzione di produzione a due variabili

$$ y = f(x_1, x_2) $$

I termini x1 e x2 sono rispettivamente le quantità impiegate del primo fattore e del secondo fattore. Ad esempio, capitale e lavoro.

esempio di funzione di produzione a due variabili

Per rappresentare una funzione di produzione a due variabili sul piano cartesiano si utilizzano gli isoquanti.

un esempio di isoquanto

Ogni isoquanto mostra le varie combinazioni dei due fattori x1 e x2 che permettono di ottenere la stessa quantità di prodotto (y)

Gli isoquanti più esterni sono associati a una maggiore quantità di prodotto rispetto a quelli più interni.

Esempio. Nella figura precedente l'isoquanto più interno è associato a una quantità di produzione y. Il secondo isoquanto è associato a una quantità di produzione y' maggiore rispetto alla precedente. E via dicendo $$ y < y' < y'' $$

Nel caso delle funzioni di produzione a due variabili x1 e x2 devi calcolare il prodotto medio e il prodotto marginale per ogni singolo fattore.

Ad esempio, per calcolare il prodotto marginale dei fattori

$$ PM_1 = \frac{dy}{dx_1} $$

$$ PM_2 = \frac{dy}{dx_2} $$

Nota. Il primo termine PM1 è la produttività marginale del primo fattore. Per ottenerlo deriva la funzione di produzione soltanto rispetto alla variabile x1 mantenendo costante la variabile x2. In questi casi si parla di derivata parziale. Misura la variazione di produzione che ottieni con una variazione infinitesimale della quantità del primo fattore. Lo stesso discorso vale per PM2 che misura la produttività marginale del secondo fattore, considerando costante il primo fattore. Anche in questo caso si tratta di una derivata parziale.

Per calcolare il prodotto medio (o prodotto unitario) rispetto ai singoli fattori

$$ PU_1 = \frac{y}{x_1} $$

$$ PU_2 = \frac{y}{x_2} $$

Nota. Il primo termine PU1 è il prodotto medio del primo fattore. E' il rapporto tra la quantità di output (y) e la quantità impiegata del primo fattore (x1). Allo stesso modo PU2 è il prodotto medio del secondo fattore. Lo ottieni dividendo la quantità di prodotto (y) per la quantità impiegata del secondo fattore (x2).