La funzione di produzione
La funzione di produzione è la quantità massima di prodotto che un'impresa produce impiegando una particolare combinazione delle quantità dei fattori produttivi.
Descrive il rapporto tra gli input (lavoro, capitale, terra) e l'output (beni, servizi) del processo produttivo di una impresa o di un'economia.
A cosa serve? La funzione di produzione permette di capire come un'impresa utilizza i fattori produttivi, come varia la quantità di prodotto al variare delle quantità dei fattori e qual è il massimo prodotto ottenibile. Di conseguenza, una volta note queste informazioni, la funzione di produzione ti permette di valutare l'efficienza del sistema produttivo.
La funzione di produzione f(x) è una funzione matematica che mette in relazione l'input e l'output del processo produttivo ed è definita dalla tecnologia a disposizione dell'impresa.
Nel caso banale di un processo produttivo con un prodotto (y) e un fattore produttivo (x) la funzione di produzione è
$$ y = f(x) $$
Il termine x è la quantità impiegata del fattore produttivo, mentre il termine y è la quantità prodotta del bene finale.
Se i fattori di produzione sono due, la funzione di produzione è una funzione a due variabili.
$$ y = f(x_1, x_2) $$
In questo caso i termini x1 e x2 indicano le quantità impiegate dei due fattori produttivi.
Sul piano cartesiano la funzione di produzione y=f(x) con un solo input si presenta come una curva che individua la massima quantità y producibile del prodotto impiegando la quantità x del fattore produttivo.
La funzione di produzione può assumere diverse forme a seconda del modo di produzione, delle caratteristiche e dei vincoli tecnologici dell'impresa.
Ad esempio, la funzione di produzione assume una forma lineare se la quantità di prodotto cresce in modo proporzionale alla quantità dei fattori produttivi impiegati.
Generalmente, la funzione di produzione ha una forma crescente a rendimenti decrescenti, in quanto nei processi produttivi l'output aumenta a un tasso decrescente man mano che si utilizzano più quantità di input.
Esempio. In una fabbrica con pochi macchinari l'impiego di 10 lavoratori permette di produrre 30 unità di prodotto all'ora. L'impiego di 20 lavoratori aumenta la produzione a 40 unità di prodotto anziché 60, in quanto la maggiore presenza di lavoratori crea delle code nell'utilizzo dei macchinari e riduce lo spazio nell'ambiente di lavoro.
Dal punto di vista matematico la funzione di produzione è una funzione continua, monotòna e derivabile.
I punti del grafico della funzione di produzione individuano la massima quantità di output (y) producibile ai diversi livelli di impiego degli input (x).
Queste combinazioni produttive sono dette frontiera della produzione e garantiscono un livello di produzione alla massima efficienza.
Esempio. Se la funzione di produzione è $$ y=\sqrt{x} $$ L'impiego di x=9 unità del fattore produttivo permette all'impresa di produrre y=3 unità di prodotto in regime di massima efficienza.
Se l'impresa impiega x=16 unità del fattore produttivo, produce y=4 unità di prodotto sempre in regime di massima efficienza.
Sono entrambe due combinazioni di massima efficienza che appartengono alla frontiera di produzione.
La superficie interna tra il grafico della funzione e l'asse delle ordinate è l'insieme di produzione.
Sono tutte le combinazioni produttive possibili ma non efficienti.
Esempio. Se il processo produttivo non è efficiente, l'impresa impiega x=16 unità del fattore produttivo producendo solo y=3 unità di prodotto.
I punti al di sopra del grafico sono, invece, combinazioni impossibili da raggiungere per l'impresa.
Questi punti non soddisfano i vincoli tecnologici dell'impresa.
Esempio. Impiegando x=16 unità del fattore produttivo l'impresa non riuscirebbe mai a produrre y=5 unità del prodotto con la tecnologia a sua disposizione. Può produrre al massimo y=4 unità di prodotto con x=16 unità del fattore di produzione.
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