Avversione al rischio

Un soggetto è avverso al rischio quando l'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π_2y2) è maggiore dell'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) > E(U) $$

Dove π₁ e π₂ sono le probabilità degli eventi 1 e 2 mentre y₁ e y₂ sono i guadagni associati ai due eventi.

L'utilità attesa del guadagno aleatorio è E(U)=π₁U(_y1)+π₂U(y₂)

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) > \pi_1 U(y_1) + \pi_2 U(y_2) $$

Questo accade perché la funzione di utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2) ha una forma concava.

Quindi, l'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio è minore dell'utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2) .

In questi casi il soggetto economico preferisce avere il valore atteso y_c=π₁y₁+π_2y2 come guadagno certo, piuttosto che correre il rischio del guadagno aleatorio.

A parità di utilità E(U) il soggetto avverso al rischio è indifferente tra ottenere un guadagno equivalente certo y'_c ma inferiore rispetto al valore atteso y_c del guadagno aleatorio

La differenza y_c-y'_c è il premio per il rischio che il soggetto è disposto a pagare pur di evitare il rischio.

Pagando il premio y_c-y'_c il soggetto ottiene lo stesso livello di utilità sia dal reddito certo che dal reddito incerto.

Esempio. La funzione di utilità è $$ U = \sqrt{y} $$ Il guadagno aleatorio è ripartito tra due eventi y₁=9 e y₂=25 al 50% (π₁=0,5 e π₂=0,5) $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ Se si verifica l'evento 1 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 3. $$ U(y_1) = \sqrt{y_1} = \sqrt{9} = 3 $$ Se si verifica l'evento 2 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 5. $$ U(y_2) = \sqrt{y_2} = \sqrt{25} = 5 $$


L'utilità attesa dal guadagno aleatorio è E(U)=4 $$ E(U) = \pi_1 U( 9 ) + \pi_2 U( 25 ) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot \sqrt{ 9 } + 0.5 \cdot \sqrt{ 25 } $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot 3 + 0.5 \cdot 5 $$ $$ E(U) = 1.5 + 2.5 $$ $$ E(U) = 4 $$ Il valore atteso del guadagno aleatorio è E(y)=17 $$ E(y) = \pi_1 y_1 + \pi_2 y_2 $$ $$ E(y) = 0,5 \cdot 9 + 0,5 \cdot 25 $$ $$ E(y) = 4,5 + 12,5 = 17 $$


L'utilità del valore atteso è U(π₁y₁+π_2y2)=4,12 $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = \sqrt{0,5 \cdot 9+ 0,5 \cdot 25} $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = \sqrt{4,5+ 12,5} $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = \sqrt{17} = 4,12$$


L'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π₂y₂)=4,12 è più alta rispetto all'utilità attesa del guadagno aleatorio E(U)=4. Pertanto, il soggetto è avverso al rischio. Preferisce ricevere il valore atteso (y_c=17) come guadagno certo piuttosto che esporsi al rischio del guadagno aleatorio.