Il premio per il rischio

Il premio per il rischio è un ammontare in denaro che un soggetto economico avverso al rischio preferisce pagare per evitare il rischio.

Ad esempio, il reddito di un individuo avverso al rischio è condizionato al verificarsi di due eventi alternativi E₁ e E₂.

• L'evento E₁ si verifica con una probabilità del 50% (π₁=0,5). In tale circostanza il soggetto ottiene un reddito pari a y₁=9.
• L'evento E₂ si verifica con una probabilità del 50% (π₂=0,5). In tale circostanza il soggetto ottiene un reddito pari a y₂=25

La funzione di utilità è

$$ U = \sqrt{y} $$

L'utilità ottenuta dal soggetto economico varia da U(y₁)=3 se si verifica l'evento E₁ a U(y₂)=5 se si verifica l'evento E₂

L'utilità attesa del guadagno aleatorio è E(U)= 4

$$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$

$$ E(U) = 0,5 \cdot U( 9 ) + 0,5 \cdot U( 25 ) $$

$$ E(U) = 0,5 \cdot \sqrt{9} + 0,5 \cdot \sqrt{25} $$

$$ E(U) = 0,5 \cdot 3 + 0,5 \cdot 5 $$

$$ E(U) = 1,5 + 2,5 $$

$$ E(U) = 4 $$

Il valore atteso è E(y)=17

$$ E(y) = \pi_1 y_1 + \pi_2 y_2 $$

$$ E(y) = 0,5 \cdot 9 + 0,5 \cdot 25 $$

$$ E(y) = 4,5 + 12,5 $$

$$ E(y) = 17 $$

Dal punto di vista grafico

L'equivalente certo dell'utilità attesa è U(y)=16

$$ U(y) = E(U) $$

$$ \sqrt{y} = 4 $$

$$ (\sqrt{y})^2 = 4^2 $$

$$ y = 16 $$

Il premio per il rischio è la differenza tra il valore atteso E(y)=17 e l'equivalente certo y=16 del guadagno.

$$ E(y) - y = 17 - 16 = 1 $$

Quindi, pagando un premio pari a 1 il soggetto ottiene la stessa utilità da un reddito certo (y_c).