Valore atteso
Il valore atteso E(x) di una variabile x è la media ponderata degli esiti possibili per le rispettive probabilità che hanno di verificarsi.
$$ E(x) = \pi_1 x_1 + \pi_2 x_2 + ... + \pi_n x_n $$
Dove E(x) è il valore atteso, il vettore x={x1,...,xn} sono i possibili esiti della variabile e il vettore π={π1,...,πn} sono le probabilità di ciascun esito.
Esempio. Se lanci un dado e vuoi calcolare il valore atteso del risultato, dovresti moltiplicare ogni risultato possibile per la sua probabilità di verificarsi e poi sommare tutti i risultati ottenuti. $$ E(x) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 $$ $$ E(x) = \frac{1}{6}+ \frac{2}{6}+ \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6} $$ $$ E(x) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} $$ $$ E(x) = \frac{21}{6} = 3,5 $$
La variabilità (varianza) del valore atteso misura il rischio dell'investimento.
$$ \sigma^2 = \sum \pi_i [x_i - E(x)]^2 $$
Esempio. Il valore atteso del lancio del dado è E(x) = 3,5. La varianza è $$ \sigma^2 = \frac{1}{6} \cdot (1-3,5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (2-3,5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (3-3,5)^2 + \\ \ \ \ \ + \frac{1}{6} \cdot (4-3,5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (5-3,5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (6-3,5)^2 $$ $$ \sigma^2 = \frac{(-2,5)^2}{6} + \frac{(-1,5)^2}{6} + \frac{ (-0,5)^2}{6} + \frac{ (0,5)^2}{6} + \frac{(1,5)^2}{6} + \frac{(2,5)^2}{6} $$ $$ \sigma^2 = \frac{6,25}{6} + \frac{2,25}{6} + \frac{ 0,25}{6} + \frac{ 0,25}{6} + \frac{2,25}{6} + \frac{6,25}{6} $$ $$ \sigma^2 = \frac{6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25}{6} $$ $$ \sigma^2 = \frac{17,5}{6} = 2,91 $$