Il guadagno equivalente certo

Il guadagno equivalente certo (y_c) è un guadagno che un soggetto economico considera equivalente a un guadagno aleatorio.

$$ U(y_c) = E(U) $$

Il soggetto economico ottiene la stessa utilità sia dal guadagno equivalente certo U(y_c) che dall'utilità attesa del guadagno aleatorio E(U).

Il guadagno equivalente certo dipende dalle preferenze individuali e varia a seconda dell'atteggiamento al rischio della persona (es. avverso al rischio).

Esempio. La funzione di utilità è $$ U = \sqrt{x} $$ Il guadagno aleatorio è ripartito tra due eventi E₁ e E₂. Entrambi hanno il 50% di probabilità di verificarsi (π₁=0,5 e π₂=0,5). $$ \pi_1 = 0,5 \\ \\ \pi_2 = 0,5 $$ Se si verifica l'evento 1 il soggetto economico guadagna y₁=9 mentre se s verfica l'evento 2 guadagna y₂=25

L'utilità attesa del guadagno aleatorio è E(U)=4 $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot U( 9 ) + 0.5 \cdot U( 25 ) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot \sqrt{ 9 } + 0.5 \cdot \sqrt{ 25 } $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot 3 + 0.5 \cdot 5 $$ $$ E(U) = 1.5 + 2.5 $$ $$ E(U) = 4 $$ Il valore atteso del guadagno aleatorio è E(y) = 17 $$ E(y) = \pi_1 y_1 + \pi_2 y_2 $$ $$ E(y) = 0.5 \cdot 9 + 0,5 \cdot 25 $$ $$ E(y) = 4,5 + 12,5 $$ $$ E(y) = 17 $$
Il guadagno equivalente certo y_c fornisce in condizioni di certezza la stessa utilità attesa E(U)=4 che il soggetto otterrebbe nel guadagno aleatorio in condizioni di incertezza $$ U(y_c) = E(U) $$ $$ \sqrt{y_c} = 4 $$ $$ (\sqrt{y_c})^2 = 4^2 $$ $$ y_c = 16 $$ Il guadagno equivalente certo che il soggetto economico è disposto ad accettare per evitare il rischio del guadagno aleatorio è y_c=16.

In tale circostanza il soggetto è indifferente tra l'utilità attesa del guadagno in condizioni di incertezza e l'utilità del guadagno equivalente in condizioni di certezza. $$ U(y_c) = E(U) = 4 $$ La differenza tra il valore atteso E(y)=17 e il guadagno equivalente certo y_c=16 è il premio per il rischio che il soggetto è disposto a pagare per evitare il rischio.