Il saggio marginale di sostituzione

Il saggio marginale di sostituzione (SMS) tra due beni A e B è la quantità del bene B che il consumatore è disposto a cedere per ottenere in cambio un'unità aggiuntiva del bene A a parità di utilità complessiva.

$$ SMS_{B,A} = \frac{\Delta x_B }{\Delta x_A}$$

E' una misura della sostituibilità tra due beni.

• ΔX_B è la variazione della quantità consumata del bene B
• ΔX_A è la variazione della quantità consumata del bene A

Poiché lo scambio delle quantità dei beni avviene a parità di utilità complessiva, lo spostamento deve avvenire sulla stessa curva di indifferenza.

Il saggio marginale di sostituzione tra due beni può essere misurato anche usando quantità infinitesimali.

$$ SMS_{B,A} = \frac{d \ x_B }{d \ x_A}$$

In questo caso il SMS in variazioni infinitesimali coincide con la pendenza della curva di indifferenza per ogni coppia di quantità dei beni (x_A;x_B) lungo la curva.

Dal punto di vista geometrico il SMS in un punto (x_A;x_B) della curva di indifferenza è la pendenza della retta tangente al punto.

Ogni punto della curva di indifferenza è caratterizzato da una specifica pendenza e, quindi, da un particolare saggio marginale di sostituzione.

Nota. La curva di indifferenza è sempre convessa per gli assiomi sulle preferenze del consumatore. Pertanto, il valore assoluto del saggio marginale di sostituzione tra i beni A e B decresce man mano che ci si sposta sulla curva di indifferenza da sinistra verso destra.

La variazione delle quantità consumate x_A e x_B dei due beni A e B causa una variazione dell'utilità del consumatore

Lo scambio tra i beni A e B avviene sulla curva di indifferenza dove l'utilità è costante.

Pertanto, la somma delle variazioni delle utilità è nulla dU=0.

$$ dU = \frac{d \ U_A}{d \ x_A } \cdot \ x_A + \frac{d \ U_B}{d \ x_B } \cdot \ x_B = 0 $$

Le componenti dU_A/dx_A e dU_B/dx_B sono rispettivamente le utilità marginali UM_A e UM_B dei beni A e B.

$$ dU = UM_A \cdot \ x_A + UM_B \cdot \ x_B = 0 $$

Da questo deriva una relazione tra il saggio marginale di sostituzione dei beni ( SMS_A,B ) è il reciproco del rapporto delle utilità marginali dei beni con segno negativo -UM_B/UM_A.

$$ UM_A \cdot \ x_A + UM_B \cdot \ x_B = 0 $$

$$ UM_A \cdot \ x_A = - UM_B \cdot \ x_B $$

$$ \frac{x_A}{x_B} = - \frac{UM_B}{UM_A} $$