Propensione al rischio

Un soggetto è propenso al rischio quando l'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π_2y2) è inferiore all'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) < E(U) $$

Dove π₁ e π₂ sono le probabilità degli eventi 1 e 2 mentre y₁ e y₂ sono i guadagni associati ai due eventi.

L'utilità attesa del guadagno aleatorio è E(U)=π₁U(_y1)+π₂U(y₂)

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) < \pi_1 U(y_1) + \pi_2 U(y_2) $$

Questo accade perché la funzione di utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2) ha una forma convessa.

In questo caso, l'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio è più altae rispetto all'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π_2y2) .

A parità di utilità E(U) il soggetto propenso al rischio è indifferente tra ottenere un guadagno certo y'_c purché sia sufficientemente superiore a quello che otterrebbe in condizioni di incertezza y_c

Esempio. La funzione di utilità del soggetto avverso al rischio è $$ U = y^2 $$ Il guadagno aleatorio è ripartito tra due eventi y₁=9 e y₂=25 al 50% (π₁=0,5 e π₂=0,5) $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ Se si verifica l'evento 1 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 81 $$ U(y_1) = 9^2 = 81 $$ Se si verifica l'evento 2 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 625. $$ U(y_2) = 25^2= 625 $$


L'utilità attesa dal guadagno aleatorio è E(U)=1513 $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot 9^2 + 0.5 \cdot 25^2 $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot 81 + 0.5 \cdot 625 $$ $$ E(U) = 40,5 + 312,5 $$ $$ E(U) = 353 $$ Il valore atteso è E(y) =17. $$ E(y) = \pi_1 y_1 + \pi_2 y_2 $$ $$ E(y) = 0,5 \cdot 9 + 0,5_\cdot 25 $$ $$ E(y) = 4,5 + 12,5 $$ $$ E(y) = 17 $$


L'utilità del valore atteso è U(π₁y₁+π_2y2) = 1369 $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = (0,5 \cdot 9+ 0,5 \cdot 25)^2 $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = (4,5+ 12,5)^2 $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 17^2 $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 289 $$


L'utilità attesa del guadagno aleatorio E(U)=353 è più alta rispetto all'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π_2y2) =289. Pertanto, il soggetto è propenso al rischio. Piuttosto che accettare il valore netto (y_c=17) come guadagno certo, l'individuo preferisce sottoporsi al rischio del guadagno aleatorio.