Neutralità al rischio

Un soggetto è neutrale/indifferente al rischio quando l'utilità del valore atteso U(π₁y₁+π_2y2) è uguale all'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = E(U) $$

Dove π₁ e π₂ sono le probabilità degli eventi 1 e 2 mentre y₁ e y₂ sono i guadagni associati ai due eventi.

L'utilità attesa del guadagno aleatorio è E(U)=π₁U(_y1)+π₂U(y₂)

$$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = \pi_1 U(y_1) + \pi_2 U(y_2) $$

Questo accade perché la funzione di utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2) ha una forma lineare.

Quindi, l'utilità attesa E(U) del guadagno aleatorio è uguale all'utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2) .

In questo caso, a parità di utilità E(U) il soggetto è indifferente tra ottenere un guadagno certo y'_c oppure incerto y_c

Esempio. La funzione di utilità è $$ U = 2y $$ Il guadagno aleatorio è ripartito tra due eventi y₁=9 e y₂=25 al 50% (π₁=0,5 e π₂=0,5) $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ Se si verifica l'evento 1 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 18. $$ U(y_1) = 2y_1 = 2 \cdot 9 = 18 $$ Se si verifica l'evento 2 il soggetto economico ottiene un'utilità pari a 50. $$ U(y_2) = 2 y_2 = 2 \cdot 25 = 50 $$


L'utilità attesa dal guadagno aleatorio è E(U)=34 $$ E(U) = \pi_1 U( y_1 ) + \pi_2 U( y_2 ) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot ( 2 \cdot 9) + 0.5 \cdot (25 \cdot 2) $$ $$ E(U) = 0.5 \cdot 18 + 0.5 \cdot 50 $$ $$ E(U) = 9 + 25 $$ $$ E(U) = 34 $$ Il valore atteso è E(y)=17. $$ E(y) = \pi_1 y_1 + \pi_2 y_2 $$ $$ E(y) = 0,5 \cdot 9 + 0,5 \cdot 25 $$ $$ E(y) = 4,5 + 12,5 $$ $$ E(y) = 17 $$


L'utilità del valore atteso è U(π₁y₁+π_2y2)=34 $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 2 \cdot (0,5 \cdot 9+ 0,5 \cdot 25) $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 2 \cdot (4,5+ 12,5) $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 2 \cdot (17) $$ $$ U(\pi_1y_1+\pi_2 y_2) = 34 $$


L'utilità attesa del guadagno aleatorio E(U)=34 è uguale all'utilità del valore atteso del guadagno certo U(π₁y₁+π_2y2)=34. Pertanto, il soggetto è indifferente al rischio.