Resistori in parallelo
I resistori in parallelo hanno gli stessi nodi in comune, hanno la stessa tensione e diversi livelli di corrente.
Queste caratteristiche sono comuni a tutti i bipoli in parallelo.
Perché i resistori in parallelo hanno la stessa tensione? Hanno la stessa tensione perché sono collegati agli stessi morsetti A e B. Per il secondo principio di Kirchhoff la somma delle tensioni in un percorso chiuso è nulla. Quindi, considerando tre maglie M1, M2, M3
La somma delle tensioni in ogni maglia è nulla. $$ V_{AB} + V_1 = 0 $$ $$ V_{AB} + V_2 = 0 $$ $$ V_{AB} + V_3 = 0 $$ Ne consegue che le tensioni V1, V2, V3 sono tutte uguali a -VAB $$ V_1 = - V_{AB} $$ $$ V_2 = - V_{AB} $$ $$ V_3 = - V_{AB} $$
Nei bipoli scorre una corrente diversa perché la somma delle correnti dei bipoli è uguale alla corrente complessiva del circuito.
$$ I_1 + I_2 + I_3 = I $$
Perché i resistori in parallelo hanno correnti diverse? Per il primo principio di Kirchoff (KLC) in una superficie chiusa la corrente entrante è uguale alla corrente uscente. Considerando il nodo superiore del circuito (superficie rossa)
La corrente entrante (I) è uguale alla somma delle correnti uscenti dalla superficie chiusa $$ I = I_1 + I_2 + I_3 $$ Pertanto, nei tre resistori scorre una corrente diversa.
Il resistore equivalente dei resistori in parallelo è un resistore con una conduttanza Geq uguale alla somma delle conduttanze dei singoli resistori
$$ I = (G_1+G_2+...+G_n) \cdot V $$
$$ I = G_{eq} \cdot V $$
Ecco il circuito equivalente
Dimostrazione. I resistori in parallelo hanno la stessa tensione (V) e correnti diversi tale che la somma delle correnti dei resistori è uguale alla corrente entrante nel nodo. $$ I = I_1 + I_2 + I_3 $$ In base alla legge di Ohm V=R·I la corrente è uguale al rapporto tra la tensione e la resistenza I=V/R. $$ I =\frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} $$ Il reciproco della resistenza è la conduttanza G=1/R. Quindi, puoi riscrivere l'equazione precedente in questo modo $$ I =\frac{1}{R_1} \cdot V + \frac{1}{R_2} \cdot V + \frac{1}{R_3} \cdot V $$ $$ I = G_1 \cdot V + G_2 \cdot V + G_3 \cdot V $$ Raccogliendo a fattore comune per la tensione $$ I = ( G_1 + G_2 + G_3 ) \cdot V $$ il resistore equivalente ha la conduttanza uguale alla somma delle conduttanze dei resistori $$ I = G_{eq} \cdot V $$
Una volta nota la conduttanza equivalente puoi ottenere la resistenza equivalente sapendo che la conduttanza è il reciproco della resistenza G=1/R
$$ G_{eq} = \frac{1}{R_{eq}} $$
Quindi, la resistenza equivalente dei resistori in parallelo è
$$ R_{eq} = \frac{1}{G_{eq}} $$
$$ R_{eq} = \frac{1}{G_1+G_2+...+G_n} $$
$$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} +...+\frac{1}{R_n} } $$
Nota. Se i resistori sono solo due
svolgendo i passaggi algebrici ottieni la nota formula della resistenza equivalente di due resistori in parallelo. $$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } $$ $$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{R_2+R_1}{R_1 \cdot R_2} } $$ $$ R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{ R_2+R_1 } $$
La potenza dei resistori in parallelo
La potenza di un bipolo è il prodotto tra la tensione e la corrente
$$ P = V \cdot I $$
In base alla legge di Ohm la tensione di un resistore è V=R·I
Quindi, la corrente di un resistore è I=V/R
$$ P = V \cdot I = V \cdot \frac{V}{R} = \frac{V^2}{R} $$
Nel caso di tre resistori in parallelo, tutti i resistori sono caratterizzati dalla stessa tensione V
La potenza di tre resistori in parallelo è uguale alla somma delle potenze dei singoli resistori.
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 $$
Sostituisci le singole potenze dei resistori con P=V2/R
$$ P = \frac{V^2}{R_1} + \frac{V^2}{R_2} + \frac{V^2}{R_3} $$
Metti in evidenza il quadrato della tensione V2
$$ P = V^2 \cdot ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} ) $$
Sapendo che il reciproco di una resistenza 1/R è la conduttanza G, sostituisci ogni 1/R con G
$$ P = V^2 \cdot ( G_1 + G_2 + G_3 ) $$
Quindi, in generale in un collegamento con n resistori in parallelo la potenza è uguale al quadrato della tensione per la somma delle conduttanze dei resistori in parallelo.
$$ P = V^2 \cdot ( G_1 + G_2 + ... + G_n ) $$
Sai già che la somma delle conduttanze dei resistori in parallelo è la conduttanza del resistore equivalente Geq=G1+G2+...+Gn
Pertanto, puoi anche scrivere la formula della potenza in questa forma
$$ P = V^2 \cdot G_{eq} $$
In conclusione, a parità di tensione la potenza totale assorbita dai resistori in parallelo è uguale alla potenza assorbita dal resistore equivalente.
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