Partitore di corrente
La regola del partitore di corrente
La corrente che scorre in uno dei resistori in parallelo è uguale alla corrente totale moltiplicata per il rapporto tra la conduttanza del resistore e la conduttanza del resistore equivalente dei resistori in parallelo. $$ I_i = I \cdot \frac{G_i}{G_{eq}} = I \cdot \frac{G_i}{G_1+G_2+...+G_n} $$
La stessa formula si può scrivere usando le resistenze, sapendo che la resistenza è l'inverso della conduttanza
$$ I_i = I \cdot \frac{ \frac{1}{R_i} }{ \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2}+...+\frac{1}{R_n}} $$
La regola del partitore di corrente ti permette di calcolare la corrente in uno qualsiasi dei rami dei resistori in parallelo.
La corrente scorre nei resistori in parallelo in modo proporzionale alla loro conduttanza.
Pertanto, nel resistore con conduttanza maggiore (resistenza minore) scorre la maggior parte della corrente.
Il partitore di corrente con due resistori
Nel caso di due resistori in parallelo la regola del partitore può essere ulteriormente semplificata
La corrente che scorre in uno dei due resistori in parallelo è uguale alla corrente totale per il rapporto tra l'altra resistenza e la somma delle due resistenze.
$$ I_1 = I \cdot \frac{R_2}{ R_1+R_2 } $$
$$ I_2 = I \cdot \frac{R_1}{ R_1+R_2 } $$
Spesso queste due formule sono citate nei corsi di elettrotecnica di base.
Dimostrazione. La regola del partitore di corrente per ottenere la corrente sul primo resistore è la seguente $$ I_1 = I \cdot \frac{G_1}{G_{eq}} = I \cdot \frac{G_1}{G_1+G_2} $$ Sapendo che la conduttanza (G) è l'inverso della resistenza (R) $$ I_1 = I \cdot \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}} $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{R_1+R_2}{R_1 \cdot R_2} }$$ $$ I_1 = I \cdot \frac{1}{ R_1 \cdot ( \frac{R_1+R_2}{R_1 \cdot R_2} ) } $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{1}{ \frac{R_1+R_2}{R_2} } $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{R_2}{ R_1+R_2 } $$ In modo analogo si ottiene anche l'altra formula.
Ne consegue che se i resistori sono uguali la regola del partitore di corrente si riduce a
$$ I_1 = \frac{I}{n} $$
Dove n è il numero dei resistori in parallelo.
In questo caso n=2 perché ci sono due resistori.
$$ I_1 = \frac{I}{2} $$
Dimostrazione. Se R1=R2 $$ I_1 = I \cdot \frac{R_2}{ R_1+R_2 } $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{R_2}{ R_2+R_2 } $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{R_2}{ 2 R_2 } $$ $$ I_1 = I \cdot \frac{1}{2} $$ Allo stesso modo $$ I_2 = I \cdot \frac{1}{2} $$
In generale la formula funziona anche se ci sono più di due resistori in parallelo con la stessa resistenza
$$ I_1 = \frac{I}{n} $$
Devi solo sostituire la variabile n con il numero dei resistori in parallelo.
Esempio
In questo circuito ci sono tre resistori R1=2 Ω, R2=3 Ω, R3=5 Ω e una corrente pari a I=10 A
Qual è la corrente che scorre nel resistore R1?
Sapendo che le resistenze sono
$$ R_1 = 2 \ Ω \\ R_2 = 3 \ Ω \\ R_3 = 5 \ Ω $$
Trasforma le resistenze in conduttanze la cui unità di misura è il siemens (S)
$$ G_1 = \frac{1}{2} \ S \\ G_2 = \frac{1}{3} \ S \\ G_3 = \frac{1}{5} \ S $$
In questo modo puoi calcolare facilmente la conduttanza equivalente come somma delle conduttanze
$$ G_{eq} = G_1 + G_2 + G_3 $$
$$ G_{eq }= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \ S $$
$$ G_{eq }= \frac{15+10+6}{30} \ S $$
$$ G_{eq }= \frac{31}{30} \ S $$
Poi applica la regola del partitore per ottenere la corrente che scorre sul resistore R1
$$ I_1 = I \cdot \frac{G_1}{G_{eq}} \ A $$
La corrente del circuito è I=10 A, la conduttanza G1=1/2, la conduttanza equivalente è Geq=31/30
$$ I_1 = 10 \cdot \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{31}{30} } \ A $$
$$ I_1 = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{30}{31} \ A $$
$$ I_1 = \frac{150}{31} = 4,83 \ A $$
La corrente che scorre nel resistore R1 è 4,83 A.
Essendo il resistore con minore resistenza (maggiore conduttanza) tra i resistori in parallelo, è quello in cui scorre gran parte della corrente.
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